La curva logistica si è ormai riadattata ai dati, divenendo piú simile alla curva di Gompertz. Per sé questo fenomeno ha poca importanza. Conferma soltanto che la logistica descrive bene solo la prima parte dell'infezione (quella durante la salita rapida dei contagi), mentre la Gompertz descrive meglio il raggiungimento dello stato stabile.
La curva degli ospedalizzati ha semsso di scendere linearmente. Questa non è una buona notizia perché significa che l'infezione non tende a spegnersi in modo deciso. Il raggiungimento della situazione di zero contagi sembrerebbe allontanarsi. È un po' presto per tirare conclusioni (il rallentamento si vede appena), ma è sempre utile prepararsi a diversi scenari.
29 aprile
La discesa dei contagi prosegue come previsto, per il momento. La mia opinione è che non c'è, in questo momento, alcuna ragione per il perdurare delle misure di contenimento dell'infezione in alcune regioni. Non c'è in effetti, alcuna ragione per tenere chiuso tutto su tutto il territorio nazionale. Si potrebbe procedere ad aperture differenziate sul territorio, monitorando accuratamente la diffusione dell'infezione ed essendo pronti a mettere in quarantena totale le zone in cui dovessero svilupparsi nuovi focolai. Mi sembrerebbe un atteggiamento pi´ razionale. I dati relativi ai contagi delle singole regioni (cosí come definite dalla protezione civile) sono riportati sotto. La freccia indica il punto in cui i contagi scendono al 10% del picco.
20 aprile
Concluso un ulteriore periodo di quattro giorni non si osservano particolari deviazioni dal comportamento ormai consolidato e anticipato. Da un'analisi indipendente realizzata per le diverse regioni italiane si evince che la velocità dell'infezione e del conseguente spegnimento della stessa è diverso nelle diverse aree geografiche, com'è facile prevedere.
In particolare, le date entro le quali il numero dei contagi scenderà al livello del 10% del picco sono le seguenti (su questo stimiamo un'indeterminazione dell'ordine di almeno una settimana).
Abruzzo
4 maggio
Basilicata
17 aprile
Calabria
23 aprile
Campania
3 maggio
Emilia Romagna
30 aprile
Friuli Venezia Giulia
5 maggio
Lazio
8 maggio
Liguria
10 maggio
Lombardia
4 maggio
Marche
30 aprile
Molise
24 aprile
P.A. Bolzano
6 maggio
P.A. Trento
16 maggio
Piemonte
3 giugno
Puglia
8 maggio
Sardegna
24 aprile
Sicilia
21 aprile
Toscana
10 maggio
Umbria
14 aprile
Valle d'Aosta
25 aprile
Veneto
10 maggio
16 aprile
I dati, anche se criticati da ogni parte, continuano a descrivere un quadro coerente. La curva dei contagi si è ormai avviata a seguire la curva di Gompertz, sfortunatamente. La discesa dei nuovi infetti sarà piú lenta di quanto ci si sarebbe potuto attendere con una logistica, che rappresentava meglio i dati all'inizio dell'epidemia. Questo potrebbe anche essere un effetto delle misure di contrasto che all'inizio erano meno efficaci: a una salita piú rapida corrisponde anche una discesa piú rapida.
Persino il dato dei tamponi, quello piú soggetto a effetti sistematici arbitrari, fornisce un quadro tutto sommato coerente: il rapporto tra il numero di nuovi positivi e tamponi, in effetti, mostra un chiaro massimo in corrispondenza della data in cui, secondo la curva di Gompertz, la crescita dell'infezione ha avuto un picco (ricordiamo che noi non usiamo la definizione di nuovi infetti della protezione civile, ma la differenza tra il totale degli infetti di un giorno meno quelli del giorno precedente).
8 aprile
Con la giornata di oggi si conclude il periodo di aggregazione dei dati e abbiamo un punto in più a disposizione per valutare la posizione del picco delle infezioni. Dai dati emerge che il picco resta sostanzialmente dov'era, spostandosi di un solo giorno rispetto alle misure di quattro giorni fa (ricordiamo che il picco è molto largo e che un errore di un giorno è ben al di sotto della sensibilità di quest'analisi).
I tempi di moltiplicazione del contagio cono in consistente allungamento. Orami siamo a 31 giorni per triplicare i contagi.
Il fit alla derivata della curva di Gompertz è ora piuttosto buono e conferma che siamo in fase discendente. Di fatto, dai dati accumulati finora si capisce che il potere predittivo della logistica era superiore durante la fase di salita, mentre in questa fase la curva di Gompertz sembra essere piú predittiva (con tutti i limiti di una previsione fatta senza un modello sottostante: parliamo, è bene ricordarlo, di previsioni puramente fenomenologiche, che non hanno alcuna pretesa di rappresentare un modello di causa-effetto).
Dalle curve di evoluzione normalizzate è evidente il calo dei malati in terapia intensiva e dei ricoverati. Calo che ormai si può considerare conclamato.
7 aprile
Il cntagio diminuisce, ma diminuisce meno di quanto ci si potesse aspettare guardando dal modello logistico della crescita, che sembrava descrivere bene i dati (l'ultimo bin disponibile contiene 3/4 dei dati che dovrebbe contenere per essere completo: va quindi aumentato di circa 1/4 della sua altezza). La buona notizia è che non cresce quanto ci si poteva invece attendere dal modello, molto piú pessimista, della Gompertz. Questo comportamento si vede bene nella curva dell'evoluzione degli infetti col tempo, in cui i punti sono sopra la logistica (curva rossa), ma sotto la Gompertza (curva arancione)
Il tempo caratteritsico di moltiplicazione dell'infezione continua a crescere e questo è un buon segno: significa che il contagio rallenta perché ci vuole piú tempo a moltiplicare gli infetti. ANche il numero di persone in ospedale e quelle in terapia intensiva sono ormai in decisa diminuzione costante. I morti nono mostrano lo stesso andamento perché le morti sono naturalmente in ritardo rispetto all'infezione (anche se a ben guardare gli ultimi punti mostrano cenni di "piegamento" della curva.
4 aprile
Con i dati di oggi abbiamo a disposizione un ulteriore punto per stimare la situazione, nel grafico dei nuovi infetti. Anche se con una leggera fluttuazione verso l'alto sembra di poter dire che la discesa nell'incremento dei casi si possa dire confermata. La tendenza al raggiungimento del plateau è leggermente piú alta di quanto si possa prevedere con i dati a disposizione fino ad oggi, e si situa a metà tra la previsione fatta con la curva logistica e quella eseguita con una Gompertz. Entrembe le curve descrivono incrementi di popolazione dipendenti dalla storia pregressa e non ci sono motivi di principio per preferire l'una all'altra come detto in piú occasioni. Il modello adottato è puramente fenomenologico e si limita a descrivere i dati senza pretesa di interpretazioni o di previsioni realistiche a lungo termine.
2 aprile
Nessuna significativa variazione rispetto a ieri. Ci attendiamo eventuali conferme a fine settimana. È tuttavia interessante osservare l'evoluzione della data prevista per il picco in funzione del tempo di crescita caratteristico degli infetti e della data. Col passare del tempo, infatti, il lockdown ha dispiegato i suoi effetti facendo crescere sempre piú lentamente la curva degli infetti e spostando quindi a destra la data del picco. Assumendo un andamento asintotico (che non è confermato) si vede che ormai la data non dovrebbe cambiare sensibilmente. Siamo a un tempo caratteristico di crescita di 22 giorni (il numero di infetti triplica ogni tre settimane).
Usando la stessa procedura anche per Stati Uniti, Spagna e Francia il picco sembra essere stato raggiunto (rispettivamente il 29, il 25 e il 26 marzo). Questa "previsione" va presa con giudizio. In questi tre Paesi gli infetti crescono molto piú rapidamente (il tempo necessario a triplicare gli infetti è di meno di una settimana negli USA e poco piú di una settimana per la Francia). Se gli effetti delle restrizioni cominciano a farsi sentire il picco si sposterà a destra anche per questi Paesi. La procedura naturalmente assume che un picco ci sia: in assenza di misure di contenimento il modello è del tutto sbagliato e quindi la previsione è un numero a caso.
Consideriamo che nelle stesse condizioni degli USA per l'Italia si prevedeva un picco il 9 marzo, con due settimane di anticipo rispetto a quello effettivamente osservato. Quindi per gli USA, assumendo misure efficaci, si può prevedere qualcosa di simile.
Nel caso della Francia e della Spagna, quando in Italia il tempo caratteristico era attorno ai 7 giorni la previsione del picco era sbagliato soltanto di 3-5 giorni (che su un picco largo come quello osservato sono pochi). Pertando possiamo attenderci un andamento simile per questi Paesi e prevedere un picco per Francia e Spagna per l'inizio della prossima settimana (sempre che le misure di contenimento funzionino).
1 aprile
Non è un pesce d'aprile. Effettivamente adesso si vede chiaramente che il picco si è verificato il 22 marzo scorso. Bisogna infatti pensare che il picco è piuttosto largo, come si vede dal grafico. Il suo raggiungimento, in effetti, non si vede dai numeri giorno per giorno, ma soltanto aggregando piú giorni. Le inevitabili fluttuazioni statistiche possono dare l'impressione di non averlo raggiunto, ma se si guarda su un periodo ragionevolmente lungo (dell'ordine della larghezza del picco) si vede che in effetti il picco c'è stato e, tutto sommato, anche con poco errore sulle prime previsioni, che davano il piccol al 19 marzo: considerando che il picco è largo piú di tre settimane non c'è male.
Ora non resta che sperare che la discesa si consolidi e che non ci siano altri focolai innescati da persone irresponsabili, che potrebbero far ripartire la crescita incontrollata degli infetti.
Evolution of COVID19 spread with time (tentative)
Questo grafico mostra come evolve la diffusione dell'infezione col tempo. I pallini arancioni sono i dati
forniti dalla protezione civile, mentre la curva verde è il modello matematico con il quale i dati
si possono descrivere (curva logistica). La curva blu è la derivata di quella verde.
Dal grafico si vede che il modello matematico rappresenta molto bene i dati sperimentali. Poiché dal
numero di infetti non vengono sottratti i guariti e i morti, la curva è sempre crescente, ma a un certo
punto si stabilizza. Da questo momento in poi gli infetti reali cominceranno a scendere man mano che
guariscono o muoiono.
La rapidità con la quale il virus si diffonde è dato dalla curva blu. Quest'ultima rappresenta la
pendenza della tangente alla curva in ogni punto. Fino a quando la curva blu cresce, il numero di nuovi
infetti cresce. Quando la curva invece comincia la discesa, il numero totale di infetti cresce ugualmente,
ma meno di quanto cresceva prima. Il picco dei nuovi infetti si raggiunge dove la curva blu raggiunge il massimo.
Evolution of COVID19 spread with time
I pallini blu di questo grafico coincidono con quelli arancioni del grafico precedente, ma in questo sono
divisi per il numero massimo di infetti raggiunto. Questo accade per tutti i grafici che, per definizione,
finiscono tutti nel punto di coordinate (data odierna, 1).
Il grafico serve a capire se ci sono anomalie nella divisione in categorie dei malati. Idealmente ci si
aspetta che i guariti, i morti, i ricoverati e quelli in terapia intensiva seguano lo stesso andamento degli
infetti perché, a parte le ovvie fluttuazioni statistiche, dovrebbero essere una percentuale fissa degli
infetti. Se una curva è piú alta quella percentuale è maggiore di quella attesa,
se piú bassa è inferiore.
Derivative of the logistic
Questo grafico mostra il numero di nuovi infetti calcolati come differenza tra gli infetti al giorno i
quelli al giorno i-1, in funzione del tempo. Per ridurre le fluttuazioni statistiche nella comunicazione
dei dati, questi sono aggregati su piú giorni. Quando si raggiungerà il picco si dovrebbe
vedere una sensibile diminuzione di questo dato.
Evolution of the consequences of infection
Questo grafico ci dice come stanno evolvendo le conseguenze dell'infezione. Di nuovo, idealmente queste curve
dovrebbero essere stabili. Il numero di ricoverati in ospedale chiaramente ha grosse fluttuazioni, che si
possono ascrivere a fluttuazioni statistiche o del giudizio dei medici.
Derivative of categories
La derivata misura la variazione del numero nell'unità di tempo. Per esempio, il grafico verde ci dice
che ci sono forti variazioni da un giorno all'altro della percentuale del numero di malati che finiscono in
ospedale. Quando il grafico sale rispetto al giorno precedente significa che i casi sono aumentati. Va
precisato che in ciascuna categoria (per esempio gli ospedalizzati), se il grafico è piatto,
i numeri sono sempre in aumento, ma aumentano come nel giorno precedente. Se invece il grafico cresce
la crescita è maggiore rispetto a quella osservata il giorno prima. Solo se il numero diventa negativo
i numeri assoluti diminuiscono.
Evolution of the characteristic time
Questi grafici forniscono informazioni sull'efficacia delle misure di contenimento. A sinistra è
mostrata la variazione del tempo caratteristico di crescita degli infetti per giorno. Il tempo caratteristico
è quello necessario per triplicare il numero di infetti (circa). Naturalmente, maggiore è tale
tempo e meno rapida è la diffusione del virus. Il fatto che questo tempo stia crescendo indica
che le misure di contenimento stanno funzionando. Tanto piú sono incisive tanto maggiore sarà
la variazione misurata. Nel grafico a destra l'informazione è la stessa, ma fornita attraverso la
pendenza della retta tangente ai dati di 6 giorni in 6 giorni. Piú la pendenza si abbassa e maggiore
è il tempo necessario per portare i pazienti da N a 3N.
Simulazioni
Nelle simulazioni si vedono gli effetti del distanziamento sociale. In una regione in cui i contatti sono
densi il numero di infetti cresce rapidamente (i pallini piú scuri sono i malati che, quando toccano i
sani possono infettarli con probabilità del 75 %). I malati, dopo un certo tempo guariscono o muoiono
e quindi non sono piú in grado di trasmettere l'infezione (assumiamo che un guarito non si ammali
di nuovo). Oltre alla crescita del numero di infetti si assiste anche a una diminuzione della popolazione
perché i morti sono tanti. A destra, invece, si simula una regione con pochi contatti tra i presenti.
In questo caso la popolazione sopravvive tutta con un solo malato per tutto il tempo.
Grafici regionali
Nei due grafici sottostanti sono riportati i dati divisi per regione. A sinistra i dati grezzi, mentre a
destra ne riportiamo il logaritmo. Ci si aspetta che i grafici a destra siano grosso modo lineari,
quindi si possono apprezzare piú facilmente certe caratteristiche. Da questi grafici si vede
bene che la Lombardia è in condizioni piuttosto critiche, mentre Veneto ed Emilia Romagna riescono
a contenere meglio il contagio. In Lombardia l'infezione è partita prima e le misure di contenimento
non sono state efficaci. Lo stesso si vede dai grafici a destra, dove la pendenza media delle rette
corrispondenti a ciascuna regione indica quanto rapidamente si sta espandendo il virus. Per la Lombradia il
numero è pi´ alto (0.20) di quelli di Veneto (0.16) ed Emilia (0.17). Le differenze sembrano
piccole perchè sono calcolate sui logaritmi. Sui numeri assoluti tra Lombardia e Veneto una differenza
del genere corrisponde a oltre il 40 % di differenza.
